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Thème A - Nombres et calculs   themeAnombresetcalculsl.pdf

Au cycle 4, les élèves consolident le sens des nombres et confortent la maitrise des procédures de calcul. Les différentes composantes de ce thème sont reliées entre elles. Les élèves manipulent des nombres rationnels de signe quelconque. Ils prennent conscience du fait qu’un même nombre peut avoir plusieurs écritures (notamment écritures fractionnaire et décimale). Les élèves abordent les bases du calcul littéral, qu’ils mettent en oeuvre pour résoudre des problèmes faisant intervenir des équations ou inéquations du premier degré. A l’occasion d’activités de recherche, ils peuvent rencontrer la notion de nombres irrationnels, par exemple lors d’un travail sur les racines carrées.

Attendus de fin de cycle

  • Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
  • Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
  • Utiliser le calcul littéral



Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de

ressources pour l’élève

 

Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes

Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.

  • Nombres décimaux.
  • Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d’opposé.
  • Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales.
  • Définition de la racine carrée ; les carrés parfaits entre 1 et 144.
  • Les préfixes de nano à giga.

Rencontrer diverses écritures dans des situations variées (par exemple nombres décimaux dans des situations de vie quotidienne, notation scientifique en physique, nombres relatifs pour mesurer des températures ou des altitudes).

Relier fractions, proportions et pourcentages.

Associer à des objets des ordres de grandeurs (par exemple, la taille d’un atome, d’une bactérie, d’une alvéole pulmonaire, la longueur de l’intestin, la capacité de stockage d’un disque dur, la vitesse du son et de la lumière, la population française et mondiale, la distance de la Terre à la Lune et au Soleil, la distance du Soleil à l’étoile la plus proche).

Prendre conscience que certains nombres ne sont pas rationnels.

 

Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.

Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.

  • Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
  • Égalité de fractions.

Montrer qu’il est toujours possible d’intercaler des rationnels entre deux rationnels donnés, contrairement au cas des entiers.

Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté.

 Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient).

 Vérifier la vraisemblance d’un résultat,

 notamment en estimant son ordre de grandeur.

 Effectuer des calculs numériques simples

 impliquant des puissances, notamment en

 utilisant la notation scientifique.

  • Définition des puissances d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).

Pratiquer régulièrement le calcul mental ou à la main, et utiliser à bon escient la calculatrice ou un logiciel.

Effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes (par exemple, comparer des consommations d’eau ou d’électricité, calculer un indice de masse corporelle pour évaluer un risque éventuel sur la santé, déterminer le nombre d’images pouvant être stockées sur une clé USB, calculer et comparer des taux de croissance démographique).

Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.

Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

  • Division euclidienne (quotient, reste).
  • Multiples et diviseurs.
  • Notion de nombres premiers.

Recourir à une décomposition en facteurs premiers dans des cas simples.

Exploiter tableurs, calculatrices et logiciels, par exemple pour chercher les diviseurs d’un nombre

ou déterminer si un nombre est premier.

Démontrer des critères de divisibilité (par exemple par 2, 3, 5 ou 10) ou la preuve par 9.

Etudier des problèmes d’engrenages (par exemple braquets d’un vélo, rapports de transmission d’une boîte de vitesses, horloge), de conjonction de phénomènes périodiques (par exemple éclipses ou alignements de planètes).

Utiliser le calcul littéral

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.

Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.

Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré.

·         Notions de variable, d’inconnue.

Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.

Comprendre l’intérêt d’une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables (en mathématiques ou dans d’autres disciplines).

Tester sur des valeurs numériques une égalité littérale pour appréhender la notion d’équation.

Etudier des problèmes qui se ramènent au

premier degré (par exemple, en factorisant des équations produits simples à l’aide d’identités remarquables).

Montrer des résultats généraux, par exemple que la somme de trois nombres consécutifs est divisible par 3.

Repères de progressivité

La maitrise des techniques opératoires et l’acquisition du sens des nombres et des opérations appréhendés au cycle 3 sont consolidées tout au long du cycle 4.

Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui rend possible toutes les soustractions.

Ils généralisent l’addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d’opposé. Puis ils passent au produit et au quotient, et, quand ces notions ont été bien installées, ils font le lien avec le calcul littéral.

Au cycle 3, les élèves ont rencontré des fractions simples sans leur donner le statut de nombre. Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. En 5e, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l’égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel. À partir de la 4e, ils sont conduits à additionner, soustraire, multiplier et diviser des quotients, à passer d’une représentation à une autre d’un nombre, à justifier qu’un nombre est ou non l’inverse d’un autre. Ils n’abordent la notion de fraction irréductible qu’en 3e.

La notion de racine carrée est introduite en lien avec le théorème de Pythagore ou l’agrandissement des surfaces. Les élèves connaissent quelques carrés parfaits, les utilisent pour encadrer des racines par des entiers, et utilisent la calculatrice pour donner une valeur exacte ou approchée de la racine carrée d’un nombre positif.

Les puissances de 10 d’exposant entier positif sont manipulées dès la 4e, en lien avec les problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs sont introduits progressivement. Les puissances positives de base quelconque sont envisagées comme raccourci d’un produit.

Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l’intérêt d’utiliser une écriture littérale. Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure. À partir de la 4e, ils rencontrent les notions de variables et d’inconnues, la factorisation, le développement et la réduction d’expressions algébriques. Ils commencent à résoudre, de façon exacte ou approchée, des problèmes du 1er degré à une inconnue, et apprennent à modéliser une situation à l’aide d’une formule, d’une équation ou d’une inéquation. En 3e, ils résolvent algébriquement équations et inéquations du 1er degré, et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. Ils font le lien entre forme algébrique et représentation graphique.

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.

Développer et factoriser des expressions

algébriques dans des cas très simples.

Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré.

·         Notions de variable, d’inconnue.

Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.